Remarques-tu l’identité ?
Énoncé :
Voici un programme de calcul :
– Je choisis 2 nombres quelconques
– Je calcule, pour chacun son carré
– Je calcule la somme des carrés
– J’ajoute au résultat deux fois le produit des nombres de départ
Faire fonctionner ce programme de calcul pour plusieurs cas. Énoncer une conjecture et la prouver.
Matériel nécessaire : Aucun
Objectifs et notions ciblées :
Ce problème permet d’introduire l’identité remarquable (a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab.
Habituellement celle-ci est introduite dans le sens développement, nous faisons ici le choix de la factorisation car c’est effectivement dans ce sens qu’elle prend toute son importance. En effet, dans le sens développement, on peut toujours calculer (a + b)^2 en faisant le double produit (a + b)(a + b), ce qui peut également éviter l’erreur classique (a + b)^2 = a^2 + b^2. En revanche, il est important de reconnaître que a^2 + b^2 + 2ab est le carré de (a + b).
De plus, ce problème permet de faire des essais, une conjecture pas évidente et une preuve qui n’est pas simple. Enfin, le passage du programme de calcul à une expression littérale engage des connaissances sur la forme des expressions.
Prérequis : Calculs numériques. Carré d’un nombre. Expressions littérales. Double distributivité
Domaine : Algèbre & Préalgèbre; Nombres et calculs
Cycle : Cycle 4 - Lycée
Classe(s) : 3ème, 2nd
Auteur(s) / Autrice(s) : Sylvie Coppé - groupe SESAMES Algèbre- LéA Ampère Lyon
Mots clés :
- Conjecture
- Expression littérale
- Preuve
- Programme de calcul
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