Problème des carrés de nombres consécutifs

Matériel nécessaire : Aucun

Objectifs et notions ciblées : Ce problème a pour but de montrer que la différence des carrés de deux nombres consécutifs est toujours un nombre impair (ou toujours la somme des deux nombres consécutifs) et que tout nombre impair peut s’écrire comme la différence des carrés de deux entiers consécutifs.
A ce niveau de classe, ce problème peut être un problème de rappel sur l’utilisation du calcul littéral. L’objectif est d’introduire la lettre dans le cadre d’un problème de preuve en algèbre. Plus précisément, dans un premier temps, les élèves doivent faire une conjecture qui rend compte de la régularité observée sur plusieurs cas, puis ils doivent la prouver pour tous les nombres entiers et enfin, elles ou ils doivent l’exprimer sous forme de propriété. Outre l’utilisation du calcul littéral comme outil de preuve, on travaille ici sur l’aspect structural de l’algèbre, c’est-à-dire la signification et la dénotation des expressions littérales. On travaille également les changements de registres numérique/algébrique/langue commune. Enfin la question finale vise à « renverser » le problème en partant d’un nombre impair.

Prérequis : Maîtriser/ Connaître les techniques de calcul algébrique (développement, factorisation).
Savoir exprimer par une expression littérale deux nombres entiers consécutifs ou un nombre impair.