Maths-coloriage : le théorème des pastèques
Énoncé :
- Construction : Tracez un cercle C de centre O et de rayon r arbitraire (par exemple, r = 6 cm). Divisez ce cercle en 8 arcs de cercle égaux. (Pour ce faire on pourra utiliser le compas et la règle, ou bien éventuellement un rapporteur). Nommez les extrémités des arcs A1, A2, A3, …, A8 placées dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Placez un point P à l’intérieur du cercle C à une position de votre choix.
- Coloriage : Utilisez un crayon vert pour colorier la région délimitée par A1, P et A8. Utilisez un crayon rouge pour colorier la région délimitée par A8, P et A7. Continuez à alterner ces deux couleurs pour les régions restantes (Ai P Ai-1) jusqu’à ce que tout l’intérieur du cercle soit colorié.
- Questions :
- À première vue, l’aire totale des régions coloriées en vert vous semble-t-elle plus petite, égale, ou plus grande que l’aire totale des régions coloriées en rouge ?
- Si le point P est situé au centre du cercle, la propriété observée en 1) est-elle toujours vraie ?
- À partir des observations précédentes, pouvez-vous formuler une hypothèse générale sur la relation entre l’aire des régions « rouges » et celle des régions « vertes » ?
- Pouvez-vous trouver une méthode pour prouver votre hypothèse ? En voyez-vous d’autres ? Écrivez une preuve avec la méthode de votre choix.
Une mini-app a été développée pour accompagner la résolution de ce problème, téléchargeable ici : https://github.com/romainbourdoncle/watermelon-teorem
Version web : https://romainbourdoncle.github.io/watermelon-teorem/
(NB: Il y a des problèmes connus avec l’interactivité SVG sur Safari et iPhone. Plutôt utiliser Chrome ou Firefox sur un ordinateur de bureau ou portable).
Matériel nécessaire : Compas, règle, crayons de couleur (vert et rouge)
Objectifs et notions ciblées : Explorer un exemple ludique de la manière dont une configuration simple peut révéler des propriétés géométriques non triviales. Travailler le calcul vectoriel. Estimer et comparer des aires de manière dynamique.
Prérequis :
Savoir calculer l’aire d’une figure usuelle (d’un triangle) ;
Utiliser le produit scalaire pour démontrer une orthogonalité, pour calculer un angle, une longueur dans le plan ou dans l’espace.
Utiliser le produit scalaire pour résoudre un problème géométrique
Domaine : Géométrie; Grandeurs et mesures
Cycle : Lycée
Classe(s) : 1ère (Spé Maths), Term (Spé Maths)
Auteur(s) / Autrice(s) : Romain Bourdoncle
Mots clés :
- Calcul d’aire
- Calcul vectoriel
- Cercle
- Coloriage
- Construction géométrique
- Géométrie dynamique
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