Les lynx et les lièvres

Énoncé :

Dans une région du nord du Canada vivent des lynx du Canada et des lièvres arctiques. 

Quand il y a suffisamment de lièvres, ils sont les principales proies des lynx : un lynx consomme en moyenne environ 185 lièvres par an. Mais si le nombre de lièvres diminue, les lynx ne peuvent plus se nourrir et leur population diminue. Cette diminution permet à la population de lièvres d’augmenter à nouveau. On observe donc un système « proie-prédateur » qui est cyclique.

La Hudson Bay Company est une entreprise qui commercialise les fourrures fournies par les trappeurs du nord canadien. Elle a évalué les populations de lynx et de lièvres de la région pendant un siècle. À partir des estimations de la Hudson Bay Company, on obtient le graphique ci-dessous, proche de celui obtenu en 1953 par le biologiste américain Odum. La courbe des lièvres est la plus foncée ; c’est celle qui monte le plus haut. La courbe des lynx est la plus claire ; pour la lire, il faut utiliser les graduations à droite du graphique.

Si on veut modéliser mathématiquement un système « proie-prédateur », il peut être intéressant d’utiliser une fonction trigonométrique. Prenons cet exemple de modélisation, où les deux populations d’animaux sont données par les fonctions suivantes, [math]t[/math] étant le nombre de périodes de cinq ans :

[math]N_1(t) = 200 \sin(t) + 400[/math] et [math]N_2(t) = 300 \sin \left( t – \frac{2\pi}{5} \right) + 500[/math]

• Combien d’années faut-il pour réaliser un cycle complet ?
• Quel est le nombre maximum et le nombre minimum d’individus de chaque espèce ?
• Quelle fonction donne le nombre de prédateurs ?
• Quel nombre de proies minimum par prédateur faut-il pour maintenir la population de prédateurs ?