Le théorème magique de Johnson

Énoncé :

Construction :

1. Construire trois cercles de même rayon [math]r[/math] et de centre [math]O[/math], [math]O'[/math] et [math]O”[/math] respectivement, passant par un même point [math]P[/math]. Ces trois cercles se coupent deux à deux en trois autres points qu’on appelle [math]A[/math], [math]B[/math] et [math]C[/math].
2. Construire le quadrilatère [math]OBO’P[/math]. Construire le quadrilatère [math]OAO”P[/math]. Construire le quadrilatère [math]O”CO’P[/math]. Tous ces quadrilatères sont des losanges. Pourquoi ?
3. Un cube apparaît dans la figure. Le voyez-vous ? Construisez le dernier sommet de ce cube et appelez-le [math]O”'[/math]. (Indice : [math]OAO”’B[/math] est aussi un losange)
4. On trace le cercle qui a pour centre [math]O”'[/math] et pour rayon [math]r[/math]. Que constatez-vous ? (On pourra colorier les trois premiers cercles de la même couleur claire et ce dernier cercle en couleur plus foncée pour bien le voir). C’est le théorème de Johnson ! Formulez-le dans vos termes.