Le château de cartes

Énoncé :

Pour construire un château de cartes à un étage, il faut 2 cartes. Pour un château de cartes à deux étages, il faut 7 cartes. Et pour un château de cartes à trois étages, il faut 15 cartes. Combien faut-il de cartes pour construire un château à 7 étages ? A 30 étages ? A 100 étages ? 

Matériel nécessaire : Aucune

Objectifs et notions ciblées : Ce problème de « pattern » (recherche de régularité) vise la pose de conjectures, puis leur validation ou leur réfutation (qui s’appuient ici sur la comparaison entre le nombre de cartes obtenu par une formule et celui déterminé par dénombrement sur le schéma).
De façon plus spécifique, ce problème conduit à :
- Produire des expressions littérales pour élaborer une formule, à partir d’une situation concrète;
- Identifier des expressions littérales équivalentes en utilisant la propriété de distributivité notamment;
- Calculer la somme des 𝑛 premiers entiers consécutifs.
La construction des châteaux peut être appréhendée de différentes manières et conduire à différentes écritures d’une même expression littérale.
De plus, il est relativement facile de se représenter la situation et de générer de nouveaux exemples permettant à la fois de comprendre le principe de construction des châteaux et de tester les formules obtenues.

Prérequis : Peu de connaissances préalables spécifiques à part quelques notions d’algèbre, notamment :
- Savoir utiliser une lettre pour traduire des propriétés générales
- Savoir produire une expression littérale à partir d’énoncés de problèmes, de figures géométriques ou d’expressions verbales.
- Savoir réduire une expression littérale et utiliser la distributivité