Le carré insécable – 1
Énoncé :
Il s’agit de paver des grilles carrées de côté n unités (où n est un entier), nous dirons de taille n, avec des carreaux de forme carrée de tailles entières strictement plus petites que n, de manière à ce qu’il n’existe aucune droite horizontale ou verticale traversant la grille sans couper au moins un carreau du pavage en deux. Un tel pavage sera dit insécable.
En cycle 3 et voir début de cycle 4 on pourra énoncer le cadre du problème comme suit.
Il s’agit de paver des grilles carrées de côté entier, avec des carreaux de forme carrée de tailles entières strictement plus petites, de manière à ce qu’il n’existe aucune droite horizontale ou verticale traversant la grille sans couper au moins un carreau du pavage en deux. Un tel pavage sera dit insécable.
On se pose les deux problèmes suivants :
P1. Pour quelles tailles de grille peut-on construire un pavage insécable ?
P2. Pour une taille donnée, quel est le nombre maximal de carreaux permettant d’obtenir un pavage insécable ?
Figure 1: Un exemple de pavage insécable :
la grille de taille 7 pavée avec 18 carreaux (deux de taille 3, 5 de taille 2 et 11 de taille 1)
Matériel nécessaire : Du papier et des crayons, on pourra envisager des plateaux carrés gradués et de carreaux de tailles 1 à 9 en nombre suffisant (matériel disponible gratuitement en prêt auprès de l’IREM de Grenoble).
Objectifs et notions ciblées :
Ces situations portent sur le développement des compétences transversales (chercher, modéliser, communiquer, …) plutôt que sur l'acquisition et/ou le travail de contenus disciplinaires spécifiques.
Notions abordées (en fonction du niveau) :
- exploration et construction de figures
- dénombrement
- raisonnement inductif et récurrence (lycée)
- partition d’un ensemble (lycée)
- raisonnement par l’absurde (lycée)
Prérequis : Connaître la définition et les propriétés du carré, des droites et du pavage du plan
Domaine : Géométrie; Logique et raisonnement; Nombres et calculs
Cycle : Cycle 3
Classe(s) : CM1, CM2, 6ème
Auteur(s) / Autrice(s) : Rémi Molinier - IREM de Grenoble
Mots clés :
- Carrés
- Construction géométrique
- Dénombrement
- Optimisation
- Pavage
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