Constructibilité du carré et entrée dans la démonstration

Énoncé :

On a proposé à des élèves de construire un carré à partir de deux côtés déjà tracés, comme ci-contre.

On a ensuite demandé à ces élèves d’écrire un message devant permettre à un camarade de construire un carré à partir de la même amorce, comme ils l’avaient fait.

1. Hugo a écrit le message suivant :

Pour tracer les deux côtés manquant du carré, trace un angle droit au sommet manquant.

Le message proposé par Hugo permet-il, à coup sûr, de construire un carré ? Justifiez votre réponse.

2. Le message de Leïla est le suivant :

Trace les droites perpendiculaires à chacun de côtés donnés, passant par chacune des extrémités.

Le message proposé par Leïla permet-il, à coup sûr, d’obtenir un carré ? Justifiez votre réponse.

(On pourra en particulier déterminer les raisons pour lesquelles le 4^ème angle est un angle droit, puis les côtés du quadrilatère tracés sont deux à deux égaux).

Matériel nécessaire : Fiche support (annexe), feuilles de brouillon, règle, équerre, reporteur de longueur.

Objectifs et notions ciblées : L’objectif de ce problème consiste à faire entrer les élèves dans des démarches de preuve, en appui sur la question de la validation (ou invalidation) d’un programme de construction.
La motivation de la preuve réside dans la recherche de justifications et de raisons à des méthodes de construction. L’invalidation du premier message pourra s’appuyer sur un dessin, qui constituera alors un contre-exemple. La validation du second message rend nécessaire la construction d’une preuve, mobilisant deux propriétés : 1) Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, elles sont parallèles entre elles ; 2) Si deux droites sont parallèles, toute perpendiculaire à l’une est perpendiculaire à l’autre

Prérequis : Au préalable, les élèves auront étudié les propriétés du carré (égalité de longueurs et angles droits). Ils auront construit des figures (dont des carrés) à l’aide d’instruments. Ils auront également été confrontés à des situations dans lesquelles ils auront pu produire des programmes de construction, construire une figure à partir d’un programme de construction.