Le flocon de Von Koch

Énoncé :

On considère un triangle équilatéral qui joue le rôle de figure initiale F[math]_0[/math] et on construit une suite de figures obtenues de la manière suivante :

• Chaque segment composant le bord de la figure est découpé en trois segments isométriques ;
• Le segment central est supprimé et remplacé par deux segments qui lui sont isométriques et ont un sommet commun pris à l’extérieur de la figure.

Étudier le périmètre et l’aire du flocon de Von Koch obtenu par application itérée à l’infini du processus récursif.

Pour tout entier naturel [math]n[/math], on note : [math]c_n[/math] le nombre de côtés de la figure F[math]_n[/math], [math]l_n[/math] la longueur d’un côté de cette figure, [math]p_n[/math] son périmètre et [math]A_n[/math] son aire.

1. Limite du périmètre quand [math]n[/math] tend vers l’infini :

a. Exprimer [math]c_{n+1}[/math] en fonction de [math]c_n[/math] puis en déduire [math]c_n[/math] en fonction de [math]n[/math].

b. Exprimer [math]l_{n+1}[/math] en fonction de [math]l_n[/math] puis en déduire [math]l_n[/math] en fonction de [math]n[/math] sachant que [math]l_0 = 1[/math].

c. En déduire [math]p_n[/math] en fonction de [math]n[/math] et déterminer la limite de [math]p_n[/math] quand [math]n[/math] tend vers l’infini.

2. Limite de l’aire quand [math]n[/math] tend vers l’infini :

a. Montrer que l’aire d’un triangle de côté [math]a[/math] est égale à [math]\frac{\sqrt{3}}{4} a^2[/math].

b. Montrer que pour tout entier naturel [math]n[/math], [math]A_{n+1} = A_n + \frac{\sqrt{3}}{12} \left(\frac{4}{9}\right)^n[/math].

c. En déduire que pour tout entier naturel [math]n[/math], [math]A_n = \frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{20} \left(1 – \left(\frac{4}{9}\right)^n\right)[/math].

d. Quelle est la limite de [math]A_n[/math] quand [math]n[/math] tend vers l’infini ?