Suites récurrentes

Énoncé :

Partie A : Soit [math]f[/math] est la fonction définie sur [math]\mathbb{R} – {2}[/math], par [math]f(x) = \frac{1}{2 – x}[/math]

1. Résoudre dans [math]\mathbb{R} – {2}[/math] l’équation : [math]f(x) = x[/math].
2. Étudier le sens de variation de [math]f[/math].
3. Montrer que pour tout réel [math]x[/math] appartenant à [math][0 ; 1][/math], [math]f(x)[/math] appartient à [math][0 ; 1][/math].

Partie B : Soit [math]\alpha[/math] un réel appartenant à [math][0 ; 1][/math]. On considère la suite [math](u_n)[/math] définie par [math]u_0 = \alpha[/math] et, pour tout entier naturel [math]n[/math], [math]u_{n+1} = f(u_n)[/math].

1. A l’aide de la calculatrice, compléter les tables de valeurs ci-dessous pour les trois valeurs de [math]\alpha[/math] (à une précision à [math]10^{-4}[/math] près).

2. Conjecturer les variations, la convergence, et l’éventuelle limite de la suite en observant les tableaux pour les trois valeurs de [math]\alpha[/math] de la question B.1. Comment avez-vous utilisé la calculatrice ?
3. Peut-on conjecturer les variations, la convergence et l’éventuelle limite de [math](u_n)[/math] pour toutes les valeurs de [math]\alpha[/math] appartenant à [math][0 ; 1][/math] ? Pourrait-on utiliser la calculatrice ? Si oui, comment ?

Partie C : On continue l’étude de la suite [math](u_n)[/math]. Pour chaque question, dire si on pourrait utiliser la calculatrice et si oui, comment l’utiliser.

1. Montrer que pour tout entier naturel [math]n[/math], [math]u_n[/math] appartient à [math][0 ; 1][/math].
2. Etudier le sens de variation de la suite [math](u_n)[/math].
3. Montrer que la suite [math](u_n)[/math] converge.
4. On note [math]l[/math] la limite de la suite [math](u_n)[/math], expliquer pourquoi [math]l = f(l)[/math].
5. En déduire la valeur de [math]l[/math] sachant que [math]l = f(l)[/math].