Le carré insécable – 3

Énoncé :

Un joli pavage insécable du plan

Il s’agit de paver des grilles carrées de côté n unités (où n est un entier), nous dirons de taille n, avec des carreaux de forme carrée de tailles entières strictement plus petites que n, de manière qu’il n’existe aucune droite horizontale ou verticale traversant la grille sans intersecter au moins un carreau du pavage. Un tel pavage sera dit insécable.

On se pose les deux problèmes suivants :

P1. Pour quelles tailles de grille peut-on construire un pavage insécable ?

P2. Quel est le nombre maximal de carreaux permettant d’obtenir un pavage insécable d’une grille de taille n?

Figure 1: Un exemple de pavage insécable :
la grille de taille 7 pavée avec 18 carreaux (deux de taille 3, 5 de taille 2 et 11 de taille 1)

Matériel nécessaire : du papier et des crayons, on pourra envisager des plateaux carrés gradués et de carreaux de tailles 1 à 9 en nombre suffisant (matériel disponible gratuitement en prêt auprès de l’IREM de Grenoble)

Objectifs et notions ciblées : Ces situations portent sur le développement des compétences transversales (chercher, modéliser, communiquer, …) plutôt que sur l'acquisition et/ou le travail de contenus disciplinaires spécifiques. Notions abordées :
- exploration et construction de figures
- dénombrement
- raisonnement inductif et récurrence
- partition d’un ensemble
- raisonnement par l’absurde

Prérequis : Connaître la définition et les propriétés du carré, des droites et du pavage du plan
Remarque préliminaire : Cette activité est une situation pour la classe développée par l’IREM de Grenoble et Math à modeler qui vise à placer les élèves dans une activité de recherche proche de celle des mathématiciens. Cette démarche demande du temps, au moins une heure par situation. Cette situation a été expérimentée à beaucoup de niveaux et les analyses présentées sont fiables.